Mecánica Clásica

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.55
7. Péndulo con soporte deslizante horizontalmente sin fricción.
Figura 1.40: Péndulo con soporte deslizante.
Coordenadas generalizadas son q 1 = x 1 y q 2 = θ.
x 2 = x 1 + l sin θ, ẋ 2 = ẋ 1 + l ˙θ cos θ
y 2 = −l cos θ, ẏ 2 = l ˙θ sin θ.
Energía cinética,
T = 1 2 m 1ẋ 2 1 + 1 2 m 2(ẋ 2 1 + l 2 ˙θ2 + 2ẋ 1 ˙θl cos θ). (1.256)
Energía potencial,
V = m 2 gy 2 = −m 2 gl cos θ. (1.257)
Lagrangiano,
L = T − V = 1 2 (m 1 + m 2 )ẋ 2 1 + 1 2 m 2(l 2 ˙θ2 + 2ẋ 1 ˙θl cos θ) + m2 gl cos θ. (1.258)
Ecuación de Lagrange para x 1 ,
donde
∂L
∂x 1
= 0,
d
dt
Luego, la ecuación para x 1 queda
( ∂L
∂ẋ 1
)
− ∂L
∂x 1
= 0, (1.259)
∂L
∂ẋ 1
= (m 1 + m 2 )ẋ 1 + m 2 ˙θl cos θ. (1.260)
(m 1 + m 2 )ẋ 1 + m 2 l ˙θ cos θ = cte ≡ P x , (1.261)
esta ecuación expresa la conservación de la componente P x del momento lineal total
en dirección del eje x, puesto que no hay fuerzas netas en esa dirección.
Ecuación de Lagrange para θ,
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ
)
− ∂L = 0, (1.262)
∂θ