Mecánica Clásica

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 285
Las frecuencias están dadas por
ω θ = ∂H′ µk 2
=
∂J θ (J r + J θ ) 3 , (6.394)
ω r = ∂H′ µk 2
=
∂J r (J r + J θ ) 3 . (6.395)
Las frecuencias radial y angular son iguales, lo que implica que la órbita es cerrada,
como se espera.
Para expresar la frecuencia en función de la energía, sustituimos
√ µ
J r + J θ = k
2(−E)
en la Ec. (6.394) y obtenemos
(6.396)
ω θ = 2 k
√ 2
µ (−E)3/2 = 2 k
√ 2
µ |E|3/2 . (6.397)
Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que el semieje mayor de una órbita elíptica está relacionado
con la energía por
a =
k
2|E| . (6.398)
Entonces, podemos escribir ω θ en función del semieje mayor como
√
k
ω θ =
µ a−3/2 = 2π , (6.399)
T θ
donde T θ es el período de la órbita. Luego,
que es la Tercera Ley de Kepler (Cap. 3).
T θ = 2π
√ µ
k a3/2 , (6.400)
5. La temprana formulación de la Mecánica Cuántica de Bohr y Sommerfeld para el
átomo de hidrógeno, incluía los siguientes postulados:
a) Cuantización de las variables de acción,
J k ≡ 1 ∮
p k dq k = n k , (6.401)
2π C k
donde n i es un número entero y es la constante de Planck dividida por 2π.
b) La frecuencia de la radiación emitida cuando un electrón cambia discontinuamente
su movimiento, desde una órbita con energía E i a otra órbita con
energía E f , es
ν = E i − E f
h
. (6.402)