Mecánica Clásica

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luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es
∫
∫
v dv
L(v) = m √ = mc 2 β dβ
√ ,
1 − v2
1 − β
2
c 2
lo cual da
L(v) = −mc 2 (1 − β 2 ) 1/2 .
Para β ≪ 1, L(v) se aproxima a la energía cinética newtoniana
L(v) ≈ 1 2 mv2 + · · ·
(A.62)
(A.63)
(A.64)
Luego, el Lagrangiano para una partícula relativista debe tener la forma L = L(v)−V (r),
es decir,
√
L = −mc 2 1 − v2
c 2 − V (r).
(A.65)
Note que L ̸= E − V , y L ̸= T rel − V . Sin embargo, puesto que L no depende
explícitamente del tiempo, la función de energía es una cantidad constante para este
sistema,
E = ∑ i
∂L
∂ẋ i
ẋ i − L = cte.
(A.66)
Utilizando L de la Ec. (A.65), obtenemos
∑
i
E = m ẋiẋ i
√ + mc2√ 1 − β 2 + V,
1 − β
2
(A.67)
lo cual se reduce a
E =
mc2 √
1 − β
2 + V = E + V = cte.
(A.68)
La inclusión de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema, y
se hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos que
en Mecánica Clásica la energía potencial de una partícula con carga q que se mueve
con velocidad v en un campo electromagnético caracterizado por los potenciales ϕ y A
está dada por
V = qϕ − q c A · v .
(A.69)
La fuerza de Lorentz sobre una partícula en un campo electromagnético se deriva de
este potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una partícula en un campo electromagnético
es
√
L = −mc 2 1 − v2
c 2 − qϕ + q c A · v.
(A.70)