Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
tenemos
T 11 = m 1 , T 12 = 0 = T 21 , T 22 = m 2 . (4.140)
Las frecuencias de oscilación están dadas por la condición det |V ij − ω 2 T ij | = 0,
∣ V ∣ 11 − ω 2 T 11 V 12 − ω 2 T 12 ∣∣∣ V 21 − ω 2 T 21 V 22 − ω 2 =
T 22
∣ 2k − ∣ ω2 m 1 −k ∣∣∣
−k k − ω 2 = 0 (4.141)
m 2
Note que la energía potencial gravitacional no influye en las frecuencias de las
oscilaciones, sólo cambia las posiciones de equilibrio de las partículas. Luego,
Llamando x = ω 2 , tenemos
x = ω 2 ± =
(2k − m 1 ω 2 )(k − m 2 ω 2 ) − k 2 = 0. (4.142)
m 1 m 2 x 2 − k(m 1 + m 2 )x + k 2 = 0 , (4.143)
[
√ ]
k
(m 1 + 2m 2 ) ± m 2 1
2m 1 m + 4m2 2 . (4.144)
2
Las ecuaciones para las amplitudes ∑ j (V ij − ω 2 T ij )a j = 0, resultan
(2k − ω 2 k m 1)a 1 − ka 2 = 0
−ka 1 + (k − ω 2 k m 2)a 2 = 0
(4.145)
Para ω 1 = ω + ,
a 1 (ω 1 )
a 2 (ω 1 ) = 1 − 1 2
⎡
(
⎣
⇒ a 1(ω k )
a 2 (ω k ) = 1 − m 2ωk
2 . (4.146)
k
1 + 2 m 2
m 1
)
+
√
1 + 4
(
m2
⎤
) 2
⎦ < 0 . (4.147)
m 1
En el modo normal correspondiente a ω 1 = ω + , las amplitudes están siempre en
fases opuestas.
Para ω 2 = ω − ,
a 1 (ω 2 )
a 2 (ω 2 ) = 1 − 1 2
⎡
(
⎣
1 + 2 m 2
m 1
)
−
√
1 + 4
(
m2
⎤
) 2
⎦ > 0 . (4.148)
m 1
Para el modo normal asociado a ω 2 = ω − , las amplitudes están en fase.