Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Hamilton-Jacobi para un sistema suministra la trayectoria q i (t) = q i (q i (0), p i (0), t) y
p i (t) = p i (q i (0), p i (0), t) como resultado adicional. Consequentemente, la ecuación de
Hamilton-Jacobi constituye el método más poderoso para encontrar la integración general
de las ecuaciones de movimiento de un sistema.
Matemáticamente, la ecuación de Hamilton-Jabobi corresponde a una ecuación en
derivadas parciales de primer orden para S(q i , t) en s + 1 variables,
∂S
∂t (q 1, . . . , q s , t) + H
(
q 1 , . . . , q s , ∂S
∂q 1
, ∂S
∂q 2
. . . , ∂S
∂q s
, t
)
= 0. (6.230)
La solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.230), para la acción S(q i , t)
requiere de s+1 constantes de integración. Pero S no figura explícitamente como incógnita
en la Ec. (6.230), sólo aparecen sus derivadas con respecto a las q i y t. Luego, si S es
solución de la Ec. (6.230), entonces S + cte, también es una solución. Por lo tanto, una
de las (s + 1) constantes de integración es irrelevante para la solución. Las s constantes
deben ser las P i = α i , para que la acción tenga la forma S(q i , P i , t). Luego, la solución
de la ecuación de Hamilton-Jacobi puede expresarse en la forma
S = S(q 1 , . . . , q s , P 1 , . . . , P s , t) = S(q i , α i , t), i = 1, . . . , s. (6.231)
Si el Hamiltoniano H es independiente del tiempo, entonces H es constante e igual
a la energía total del sistema, H(q i , p i ) = cte = E. En ese caso, se puede buscar una
solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.230), por separación de variables; esto
es, suponemos que la solución S tiene la forma
S(q i , P i , t) = S(q i , α i , t) = W (q i , P i ) − E t = W (q i , α i ) − E t (6.232)
La función W (q i , P i ) = W (q i , α i ) se llama función característica o principal de Hamilton.
En ese caso, sustitución de S en la Ec. (6.230) resulta en una ecuación para la función
W (q i , P i ), de la forma ( )
∂W
H (q i , E, P j ), q i = E , (6.233)
∂q i
donde P 1 = α 1 = E, P j = α j , j = 2, . . . , s. La Ec. (6.233) se denomina ecuación de
Hamilton-Jacobi independiente del tiempo.
En particular, si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la coordenada constante
Q 1 = β 1 asociada a P 1 = E satisface
Q 1 = ∂S
∂P 1
= ∂S
∂E
= ∂W
∂E − t = β 1. (6.234)
La función característica de Hamilton W (q i , P i ), que satisface la Ec. (6.233), puede
interpretarse como una función generadora de tipo F 2 (q i , P i ), independiente del tiempo,
que produce una transformación canónica (q i , p i ) → (Q i , P i ) tal que las coordenadas Q i
son cíclicas en el nuevo Hamiltoniano; es decir, H ′ (P i ).