Mecánica Clásica

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 283
La variable de acción J r está dada por
J r = 1 ∮
p r dr = 1
2π C r
2π
= 1
2π
∮C r
√
∮
( ∂Wr
C r
∂r
)
dr
2µ(E − V ) − J θ
2 dr. (6.377)
r2 Puesto que consideramos movimientos finitos, en un ciclo C r la coordenada radial
varía dos veces entre los valores r = r min y r = r max . Entonces,
J r = 1
2π 2 ∫ rmax
= 1 π
r min
∫ rmax
1
r min
r
√
2µ
(
E + k )
− J θ
2
r r 2
dr
√
2µEr 2 + 2µkr − Jθ 2 dr. (6.378)
Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que r min y r max son las raíces de
2µEr 2 + 2µkr − l 2 = 2µEr 2 + 2µkr − J 2 θ = 0 , (6.379)
(puesto que J θ = l) dadas por
⎛ √ ⎞
r min = − k ⎝1 − 1 + 2EJ θ
2 ⎠
2E
µk 2 , (6.380)
⎛ √
r max = − k
2E
⎝1 +
⎞
1 + 2EJ θ
2 ⎠
µk 2 . (6.381)
Para realizar la integración en la Ec. (6.378) de una manera más simple, usamos el
siguiente artilugio. Obtenemos primero la derivada parcial
∂J r
∂E = µ π
∫ rmax
r min
La integral en la Ec. (6.382) es de la forma
r
√
2µEr2 + 2µkr − J 2 θ
dr . (6.382)
∫
√
r
√
ar2 + br + c dr = ar2 + br + c
a
+
( )
b
b + 2ar
2(−a) 3/2 sin−1 b 2 , (6.383)
− 4ac