Mecánica Clásica

274
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Luego, un ciclo completo de q i corresponde a un cambio de ϕ i en 2π; la variable ϕ i se
puede interpretar como un ángulo de rotación tal que el período de la órbita C i equivale
a una rotación completa de ϕ i manteniendo J i constante. Puesto que no todas las
órbitas tienen el mismo período, no todas las variables de ángulo ϕ i realizan una rotación
completa al mismo tiempo, aunque todas las variables de acción correspondientes
se mantienen constantes.
Las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables son
J˙
i = − ∂H′ (J j )
= 0 , (6.314)
∂ϕ i
˙ϕ i = ∂H′ (J j )
∂ϕ i
≡ ω i (J j ) = cte. (6.315)
Las Ecs. (6.314) confirman que las J i son constantes, mientras las Ecs. (6.315) definen s
funciones constantes ω i (J j ). Adicionalmente, las Ecs. (6.315) conducen a
ϕ i = ω i t + θ i , (6.316)
donde θ i equivale a una fase inicial para cada variable ϕ i . Cada nueva coordenada ϕ i
se comporta efectivamente como un ángulo que se incrementa con una correspondiente
velocidad angular constante ω i ; de alli su nombre variables de ángulo. El período correspondiente
de ϕ i es
T i =
2π
ω i (J j ) , (6.317)
el cual es igual al período de la órbita C i . Entonces, las Ecs. (6.315) permiten obtener directamente
las frecuencias de las órbitas periódicas del sistema, sin hacer aproximaciones
de pequeños desplazamientos y sin necesidad de resolver explícitamente las ecuaciones
de movimiento.
En resumen, el empleo de las variables de acción-ángulo permite encontrar las múltiples
frecuencias del movimiento de un sistema que satisface las condiciones (1)-(3), mediante
el siguiente procedimiento:
1. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,
( )
∂Wi
H (q i , α 1 , . . . , α s ), q i = E . (6.318)
∂q i
2. Separar la Ec. (6.318) en s ecuaciones para las derivadas ∂Wi
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ). La
separación provee las constantes α 1 = E, α 2 , . . . , α s .
3. Calcular las variables de acción,
∮
∂W i
J i = (q i , α 1 , . . . , α s ) dq i = J i (α 1 , . . . , α s ). (6.319)
∂q i
C i
4. Invertir las relaciones J i (α 1 , . . . , α s ) para obtener α i = α i (J 1 , . . . , J s ).