Mecánica Clásica

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 105
El cambio de variable
u = 1 r ⇒ du = − 1 dr , (3.33)
r2 generalmente resulta útil al considerar integrales en el problema de dos cuerpos. Mediante
este cambio, la Ec. (3.32) se convierte en
∫ 1
u
θ = θ 0 −
1
u 0
√
2µE
−
l 2
du
2µV (u)
l 2 − u 2 . (3.34)
Las formas funcionales físicamente más relevantes de potenciales centrales son V (r) =
kr n+1 , donde k = cte. Las fuerzas correspondientes son de la forma
f(r) = − ∂V
∂r ∝ rn . (3.35)
Por ejemplo, el exponente n = −1 corresponde a V = cte y f(r) = 0, es decir a una
partícula libre. El valor n = −2 describe la fuerza gravitacional, mientras que n = 1
corresponde a un oscilador armónico esférico.
Sustitución de V (u) = ku −(n+1) en la Ec. (3.34) da la integral
∫ 1
u
θ = θ 0 −
1
u 0
du
√
2µE
l 2 − 2µk
, (3.36)
l 2 u−(n+1) − u 2
la cual es integrable en términos de funciones elementales para ciertos valores de n.
Si el integrando en la Ec. (3.36) tiene la forma R(u, √ au 2 + bu + c),
∫
du
R(u, √ au 2 + bu + c) , (3.37)
la integral se puede expresar en términos de funciones circulares sin −1 u, cos −1 u. Para
que esto ocurra, el exponente de u −(n+1) en el integrando de la Ec. (3.36) debe tener,
cuando mucho, un valor igual a 2; es decir, puede tomar los valores −(n + 1) = 0, 1, 2.
Luego, los posibles valores de n para potenciales integrables en términos de funciones
circulares son
n = −1, −2, −3. (3.38)
Estos valores incluyen los casos n = −1 para el potencial V = cte, y n = −2 correspondiente
al potencial gravitacional
V (r) = − k r . (3.39)
El caso n = 1, correspondiente al potencial de un oscilador armónico esférico V (r) = kr 2 ,
tambien se puede integrar en la Ec. (3.36). Haciendo el cambio de variable
x = u 2 ⇒ du =
dx
2 √ x , (3.40)