Mecánica Clásica

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APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Figura A.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo.
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (A.1), se obtiene la suma de velocidades,
dr
dt = dr′
dt ′ + v
⇒ u = u ′ + v, (A.3)
puesto que dt = dt ′ y donde u es la velocidad de una partícula medida en S y u ′
corresponde a la velocidad de esa partícula medida en S’. En particular, si v = vˆx, la
suma de velocidades da
u ′ x = u x − v.
(A.4)
La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo.
Consideremos la Segunda Ley de Newton en S’,
Tenemos,
m d2 r ′
dt ′2 = −∇′ V (r ′ ) = F(r ′ ). (A.5)
d 2 r ′
dt ′2
Por otro lado, notamos que para cualquier f,
dr ′
dt ′ = dr
dt − v,
= d ( ) dr
dt dt − v = d2 r
dt 2 .
(A.6)
(A.7)
y similarmente
Luego,
∇ ′ =
∂f
∂x ′ = ∂f
∂x
∂f
∂y ′ = ∂f
∂y ,
∂x
∂x ′ = ∂f
∂x
∂f
∂z ′ = ∂f
∂z
(A.8)
(A.9)
( ) ( ∂
∂x ′ , ∂
∂y ′ , ∂ ∂
∂z ′ =
∂x , ∂ ∂y , ∂ )
= ∇ (A.10)
∂z