Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
1. Los paréntesis de Poisson entre ambos conjuntos de variables satisfacen
[Q i , P j ] (p,q) = δ ij = [q i , p j ] (p,q) = [Q i , P j ] (P,Q) . (6.172)
Igualmente,
[P i , P j ] (p,q)
= [P i , P j ] (P,Q) = 0, (6.173)
[Q i , Q j ] (p,q)
= [Q i , Q j ] (P,Q) = 0. (6.174)
2. El paréntesis de Poisson de dos funciones es invariante bajo una transformación
canónica,
[f, g] (p,q) = [f, g] (P,Q) , (6.175)
donde
[f, g] (p,q) = ∑ k
[f, g] (P,Q)
= ∑ k
( ∂f
∂q k
( ∂f
∂Q k
∂g
− ∂f )
∂g
, (6.176)
∂p k ∂p k ∂q k
∂g
− ∂f
∂P k ∂P k
)
∂g
. (6.177)
∂Q k
Demostración de la Propiedad 1:
Supongamos que en las variables (p, q) se cumplen las ecuaciones de Hamilton para
un H(q, p),
˙q k = ∂H
∂p k
(q, p) ,
ṗ k = − ∂H
∂q k
(q, p) (6.178)
Si la transformación (p, q) → (P, Q) es canónica, entonces existe un Hamiltoniano transformado
H ′ (P, Q) tal que
˙Q i = ∂H′
∂P j
(Q, P ) ,
P˙
i = − ∂H′ (Q, P ) , (6.179)
∂Q j
y existe una función generadora F de la transformación canónica, tal que
H = H ′ − ∂F
∂t . (6.180)
Por otro lado,
˙Q i (p j , q j , t) = ∑ k
( ∂Qi
∂q k
˙q k + ∂Q i
∂p k
ṗ k
)
+ ∂Q i
∂t . (6.181)