Mecánica Clásica

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 227
Las ecuaciones de Hamilton son
˙q = ∂H
∂p = p m , (6.20)
ṗ = − ∂H = −kq.
∂q
(6.21)
Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico se pueden resolver, al igual
que la correspondiente ecuación de Lagrange. Derivando la Ec. (6.21) obtenemos,
¨p = −k ˙q = − k m p , (6.22)
cuya solución es
p(t) = A cos(ωt + ϕ), ω 2 = k m . (6.23)
Sustituyendo en la Ec. (6.20), obtenemos
El Hamiltoniano es independiente del tiempo, ∂H
∂t
q(t) = A sin(ωt + ϕ). (6.24)
mω
= 0, lo cual implica que
H(q, p) = p2
2m + 1 2 kq2 = cte. (6.25)
La función H(q, p) = cte corresponde a una elipse (curva unidimensional) en el
espacio de fase bidimensional (q, p) y determina los valores posibles de q(t) y p(t)
para todo tiempo t. La trayectoria descrita por q(t), p(t) se mueve sobre la elipse
H = cte.
Figura 6.3: La función H(q, p) = cte para un oscilador armónico en su espacio de fase.
2. Encontrar las ecuaciones de Hamilton para una partícula de masa m moviéndose
sobre un cono vertical cuyo ángulo en el vértice es α.
El Lagrangiano fue calculado en el Cap. 1,
L = T − V = 1 2 mṙ2 csc 2 α + 1 2 mr2 ˙ϕ 2 − mgr cot α. (6.26)