Mecánica Clásica

6.3.
PARÉNTESIS DE POISSON. 241
Teorema de Poisson.
Si f y g son ambas constantes de movimiento, entonces, [f, g] = cte.
Demostración:
Si f y g son constantes de movimiento, entonces satisfacen
df
dt = 0,
dg
dt = 0 . (6.94)
Calculemos
d
dt [f, g] = ∂ [f, g] + [[f, g], H]. (6.95)
∂t
Calculemos la derivada parcial
∂
∂t [f, g] = ∑ ( ∂ 2 f ∂g
+ ∂f ∂ 2 g
− ∂2 f ∂g
− ∂f ∂ 2 )
g
∂t∂q
i
i ∂p i ∂q i ∂t∂p i ∂t∂p i ∂q i ∂p i ∂t∂q i
= ∑ ( ( ) ∂ ∂f ∂g
−
∂ ( ) ) ∂f ∂g
∂q
i i ∂t ∂p i ∂p i ∂t ∂q i
+ ∑ ( ( )
∂f ∂ ∂g
− ∂f ( ))
∂ ∂g
∂q
i i ∂p i ∂t ∂p i ∂q i ∂t
[ ] [ ∂f
=
∂t , g + f, ∂g ]
. (6.96)
∂t
Usando la identidad de Jacobi, tenemos
[[f, g], H] = − [[g, H] , f] − [[H, f] , g] . (6.97)
Sustituyendo Ec. (6.96) y Ec. (6.97) en Ec. (6.95), tenemos
[ ] [
d
∂f
dt [f, g] = ∂t , g + f, ∂g ]
− [[g, H] , f] − [[H, f] , g]
∂t
[ ] [ ∂f
=
∂t , g + f, ∂g ]
+ [f, [g, H]] + [[f, H] , g]
∂t
[ ] [
∂f
=
∂t + [f, H] , g + f, ∂g ]
∂t + [g, H] [ ] [ df
=
dt , g + f, dg ]
= 0 (6.98)
dt
⇒ [f, g] = cte. (6.99)
El Teorema de Poisson puede ser útil para encontrar una nueva constante de movimiento
en un sistema, si se conocen dos de ellas.
La condición de integrabilidad de un sistema puede expresarse en el lenguaje de los
paréntesis de Poisson, de la siguiente manera: