Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Figura 2.7: Energía potencial de un sistema unidimensional con energía constante E. Movimiento
puede ocurrir en los intervalos marcados en gris sobre el eje x. x o es un punto de equilibrio
estable; mientras que x ′ o es un punto de equilibrio inestable.
Un punto de equilibrio x o es estable si x o +δx, donde δx es una pequeña perturbación,
tiende en el tiempo al valor x o . Un punto de equilibrio estable corresponde a un mímino
del potencial V (x).
Si
Si
d 2 V
dx 2 ∣ ∣∣∣xo
> 0, x o es un punto de equilibrio estable. (2.109)
d 2 V
dx 2 ∣ ∣∣∣xo
< 0, x o es un punto de equilibrio inestable. (2.110)
Si el rango del movimiento posible está entre dos puntos de retorno, x ∈ [x 1 , x 2 ], el
movimiento es finito y oscilatorio. Entonces, debe existir un punto de equilibrio estable
x = x o en el intervalo [x 1 , x 2 ]; es decir, existe un mínimo de V (x) en ese intervalo.
El período de oscilación entre los puntos de retorno es
√ m
T (E) = 2
2
∫ x2
x 1
dx
√
E − V (x)
. (2.111)
Ejemplos.
1. Consideremos una partícula de masa m moviéndose sobre un cono vertical con
ángulo de vértice α.
El Lagrangiano de este sistema fue calculado en el Cap. 1,
L = T − V = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgr cot α . (2.112)
Este sistema es integrable; posee dos grados grados de libertad, r y ϕ, y dos cantidades
conservadas, C 1 = l z y C 2 = E, asociadas con la simetría axial alrededor del
eje z, ∂L
∂L
= 0, y con la homogeneidad del tiempo, = 0, respectivamente.
∂ϕ ∂t