Mecánica Clásica

2.10. PROBLEMAS 95
2.10. Problemas
1. Dos partículas con masas m 1 y m 2 están unidas por un resorte de constante k y
longitud en reposo l, de manera que pueden deslizarse sin fricción sobre una mesa.
Asuma que el resorte no se dobla.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Encuentre e identifique las cantidades conservadas.
c) Calcule el período de una oscilación a lo largo del resorte.
2. Una partícula de masa m y carga q está sujeta a un potencial electromagnético
dado por φ = 0 y A = 1 2B × r, donde B es un campo magnetico uniforme y constante.
a) Verifique que B = ∇ × A.
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partícula en coordenadas cilíndricas.
c) Encuentre las cantidades conservadas.
3. Considere un sistema con el siguiente Lagrangiano:
L = 1 2 a(ẋ2 sin 2 y + ẏ 2 ) + 1 2 b(ẋ cos y + ż)2 ,
donde a y b son constantes.
a) Derive las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Calcule e identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema.
c) Calcule la energía del sistema.
d) Suponga que y(t) = y o = cte. es una solución. ¿Cuáles son x(t) y z(t) en este
caso.
4. Una partícula de masa m se mueve con velocidad v sujeta al potencial
V (r, v) = U(r) + n · l ,
donde r es el radio vector medido desde el origen del sistema de referencia, l es el
momento angular con respecto a ese origen, n es un vector fijo en el espacio y U(r)
es una función escalar.
a) Encuentre la fuerza ejercida sobre la partícula.
b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partícula en coordenadas cartesianas.
c) ¿Existe alguna cantidad constante.
5. Una partícula de masa m y energía total E se mueve en la dirección x con energía
potencial V (x) = k|x| n (k, n constantes), tal que el período del movimento es T .
a) Encuentre los puntos de retorno de la partícula.
b) Calcule el período resultante si la energía total se duplica.
c) Demuestre que el período no cambia si el potencial corresponde al de un oscilador
armónico simple.