Mecánica Clásica

6.10. PROBLEMAS 293
32. Un proyectil de masa m se lanza con velocidad v o desde el suelo, formando un
ángulo α con la horizontal.
a) Encuentre la trayectoria del proyectil en función del tiempo, usando el formalismo
de Hamilton-Jacobi.
b) Encuentre la acción para este sistema.
33. Considere un oscilador armónico bidimensional de masa m y cuyas constantes de
resorte son k x y k y en las direcciones x y y, respectivamente.
a) Encuentre las coordenadas y momentos de la parícula en función del tiempo
utilizando ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
b) Encuentre la acción para este sistema.
34. Una partícula con carga q y masa m se mueve en un plano sujeta a un potencial
central V = 1 2 kr2 y a un campo magnético perpendicular al plano, tal que A =
1
2 B × r.
a) Determine la ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema, en coordenadas
polares.
b) Encuentre la solución para la trayectoria de la partícula en términos de integrales
explícitas.
35. Considere una curva cerrada C(t) en un instante t en el espacio de fase (q i , p i ) de
un sistema. Demuestre que la integral
I = ∑ ∮
p i dq i
i C(t)
es una constante del movimiento.
36. Una partícula de masa m se encuentra inicialmente en x = 0 con velocidad v oˆx y
se mueve en el potencial unidimensional
(
V (x) = k sin 2 x
)
,
a
x
∈ [−π/2, π/2],
a
y V (x) = ∞, para x a
/∈ [−π/2, π/2], con k, a constantes. Utilizando la ecuación de
Hamilton-Jacobi, encuentre el período de oscilación de la partícula en este potencial
si x ≪ a.
37. Una partícula con masa m y energía E se mueve periódicamente en el potencial
unidimensional V = k|x|, k = cte. Usando variables de acción-ángulo, encuentre el
período del movimiento de la partícula.
38. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión sujeta al potencial V (x) =
k sec 2 (x/a).
a) Encuentre una expresión para la acción S utilizando ecuación de Hamilton-
Jacobi para este sistema.
b) Encuentre la frecuencia de las oscilaciones de la partícula usando variables de
acción-ángulo. Calcule esta frecuencia en el límite de pequeñas amplitudes.