Mecánica Clásica

6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 247
La condición Ec. (6.116) puede expresarse como
(
d
F − ∑ p i q i + ∑ )
Q i P i = ∑ (
)
−q i ṗ i + Q i P˙
i + H ′ − H (6.136)
dt
i
i
i
donde hemos sustituido
p i ˙q i = d dt (p iq i ) − q i ṗ i ,
P i ˙Q i = d dt (P iQ i ) − Q i ˙ P i (6.137)
Comparando con la Ec. (6.135), tenemos
q i = − ∂F 4
∂p i
= q i (p, P, t) (6.138)
Q i = ∂F 4
∂P i
= Q i (p, P, t) (6.139)
F 4 = F + ∑ i
P i Q i − ∑ i
p i q i (6.140)
H ′ = H + ∂F 4
∂t . (6.141)
La transformación canónica asociada a una función generadora F es una propiedad
característica de la función F ; no depende del Hamiltoniano de un sistema específico. Por
lo tanto, una transformación canónica dada {q i , p i , t} → {Q i , P i , t} puede emplearse para
transformar diversos Hamiltonianos; su utilidad en cada caso dependerá del problema
específico. La relación entre el Hamiltoniano H(q i , p i , t) y el Hamiltoniano transformado
H ′ (Q i , P i , t) resultante de la transformación canónica {q i , p i , t} → {Q i , P i , t} generada
por una F siempre es
H ′ = H + ∂F
∂t . (6.142)
Luego, si F es independiente del tiempo, entonces H = H ′ .
Dada una función generadora F , es posible encontrar una transformación canónica
asociada a F . El problema inverso tambien se puede plantear en algunos casos; es decir,
dada una transformación canónica, en principio es posible obtener la función generadora
que produce esa transformación. Por ejemplo, consideremos una transformación
p i = p i (q, Q, t), (6.143)
P i = P i (q, Q, t), (6.144)
la cual posee la forma de la transformación canónica asociada a una función generadora de
tipo F 1 . Luego, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales
para F 1
∂F 1
∂q i
= p i (q, Q, t), (6.145)
∂F 1
∂Q i
= P i (q, Q, t), (6.146)
las cuales, en principio, pueden integrarse para encontrar F 1 .