Mecánica Clásica

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 279
Hay dos grados de libertad, θ y z. El Lagrangiano del sistema es
El Hamiltoniano es
H =
L = 1 2 m(R2 ˙θ2 + ż 2 ) − mgz. (6.339)
p2 θ
2mR 2 + p2 z
+ mgzE = cte. (6.340)
2m
La ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo tiene la forma
( )
∂W
H , q i , α i = E. (6.341)
∂q i
Buscamos solución por separación de variables. Asumimos la función característica
de Hamilton en la forma W = W θ (θ, α 1 , α 2 ) + W z (z, α 1 , α 2 ), con α 1 = E.
Los momentos correspondientes son
Sustituyendo en la Ec. (6.340), tenemos
( ) 2
1 ∂Wθ
2mR 2 + 1
∂θ 2m
lo cual se puede expresar como
1
2m
p θ = ∂W θ
∂θ , (6.342)
p z = ∂W z
∂z . (6.343)
( ) 2 ∂Wz
+ mgz = E, (6.344)
∂z
( ) 2 ∂Wz
+ mgz = E − 1 ( ) 2 ∂Wθ
∂z
2mR 2 (6.345)
∂θ
El lado izquierdo en la Ec. (6.345) es función de z solamente y el lado derecho es
una función de θ. Ambos lados deben ser iguales a la misma constante, α 2 = cte.
Entonces, podemos escribir
1
2m
( ) 2 ∂Wz
+ mgz
∂z
) 2
= α 2 (6.346)
= α 2 (6.347)
E − 1 ( ∂Wθ
2mR 2 ∂θ
Luego,
∂W θ
∂θ = R √ 2m √ E − α 2 = cte , (6.348)