Mecánica Clásica

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.51
con b 1 y b 2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemos
La ecuación de Lagrange para y es
lo que conduce a
d
dt
x(t) = x o + v ox t. (1.225)
( ∂L
∂ẏ
)
− ∂L = 0, (1.226)
∂y
mÿ + mg = 0 ⇒ ÿ = −g (1.227)
Usando las condiciones iniciales, podemos expresar
⇒ y = − 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 . (1.228)
y(t) = y o + v oy t − 1 2 gt2 (1.229)
La trayectoria descrita por la partícula es una parábola,
y(x) = y o + v oy
(x − x o ) −
g (x − x o ) 2 . (1.230)
v ox
2v 2 ox
La trayectoria parabólica corresponde a la minima acción; mientras que la cicloide
corresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.
5. Partícula moviéndose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.
Figura 1.38: Partícula moviéndose sobre un cono invertido.
Coordenadas generalizadas son q 1 = ϕ y q 2 = r. Entonces,
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = r cot α.
Las velocidades correspondientes son
ẋ = ṙ cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ
ẏ = ṙ sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ
ż = ṙ cot α.
(1.231)
(1.232)