Mecánica Clásica

5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 205
Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya, y es un problema famoso
de la Mecánica.
Figura 5.27: Trompo de Kovalevskaya. Izquierda: Posición d del centro de masa con respecto
al punto fijo O. Derecha: Proyección del vector d en la dirección z corresponde a la altura h del
centro de masa.
Note que si d = (0, 0, h), tenemos un trompo de Lagrange con momentos de inercia
dados por la Ec. (5.153).
Definamos el vector unitario
ẑ ≡ u = (u 1 , u 2 , u 3 ), (5.154)
cuyas componentes en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) fijo en el cuerpo son
u 1 = sin θ sin ψ (5.155)
u 2 = sin θ cos ψ (5.156)
u 3 = cos θ. (5.157)
La energía cińetica del cuerpo se debe a su rotación y corresponde a
T rot = 1 2 (I′ 11Ω 2 1 + I ′ 22Ω 2 2 + I ′ 33Ω 2 3). (5.158)
La energía potencial V del trompo corresponde a la energía potencial del centro
de masa (cm) en el campo gravitacional terrestre. La altura h del centro de masa
sobre el eje z es
h = d sin ψ sin θ, (5.159)
donde ψ es el ángulo entre d y la lineal nodal N. Luego, podemos escribir
V = mgh = mgd sin θ sin ψ. (5.160)