Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
11. El soporte de un péndulo plano de masa m y longitud l rota sin fricción con velocidad
angular uniforme ω alrededor del eje vertical z.
a) Encontrar la ecuación de movimiento del péndulo.
b) Encontrar el ángulo de equilibrio del péndulo.
Figura 1.44: Péndulo con soporte giratorio.
La coordenada generalizada es q = θ.
a) Para encontrar la ecuación de movimiento, expresamos
x = l sin θ cos ωt,
y = l sin θ sin ωt,
z = −l cos θ,
(1.291)
y las velocidades
La energía cinética es
ẋ = l ˙θ cos θ cos ωt − lω sin θ sin ωt
ẏ = l ˙θ cos θ sin ωt + lω sin θ cos ωt
ż = l ˙θ sin θ.
(1.292)
T = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) = 1 ( )
2 ml2 ˙θ2 + ω 2 sin 2 θ . (1.293)
La energía potencial correspondiente es
El Lagrangiano es
V = mgz = −mgl cos θ. (1.294)
L = T − V = 1 ( )
2 ml2 ˙θ2 + ω 2 sin 2 θ + mgl cos θ . (1.295)
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L = 0, (1.296)
∂θ