Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Llamemos (x 1 , x 2 ) al plano del cuerpo rígido. Entonces el eje x 3 es perpendicular
al cuerpo y r j = (x 1 (j), x 2 (j), 0), ∀j. Luego,
I 11 = ∑ j
I 22 = ∑ j
m j x 2 2, (5.60)
m j x 2 1, (5.61)
I 33 = ∑ m j (x 2 1 + x 2 2). (5.62)
Es decir que, para todo cuerpo rígido plano, se cumple
I 33 = I 11 + I 22 . (5.63)
3. Cilindro uniforme de altura h, radio R y masa M.
Figura 5.11: Cilindro.
El elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es dV = h r dr dθ, donde r 2 =
x 2 1 + x 2 2. La densidad de masa es ρ =
M
πR 2 h . Entonces,
∫
I 33 = ρ (x 2 1 + x 2 2) dV
= ρ
∫ R
hr 2 r dr
∫ 2π
0
0
dθ
= 1 2 MR2 . (5.64)
Por simetría, los momentos de inercia I 11 = I 22 .
∫
∫
∫
I 11 = ρ (x 2 2 + x 2 3) dV = ρ x 2 2 dV + ρ
x 2 3 dV. (5.65)
Primer término:
∫
ρ x 2 2 dV = ρ h
= ρ h
∫ R ∫ 2π
0
∫ R
0
0
r 3 dr
(r sin θ) 2 r dr dθ
∫ 2π
0
sin 2 θ dθ = ρhπ R4
4 = 1 4 MR2 . (5.66)