Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si un sistema posee k restricciones, éstas se puede expresar como k funciones o relaciones
que ligan las coordenadas:
f 1 (r 1 , r 2 , . . . , t) = 0,
f 2 (r 1 , r 2 , . . . , t) = 0,
.
f k (r 1 , r 2 , . . . , t) = 0.
(1.88)
Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas se llaman
restricciones holonómicas. El número de coordenadas independientes cuando existen
k restricciones holonómicas es s = 3N − k.
La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el número mínimo de
coordenadas necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertad
definen un conjunto de coordenadas generalizadas, denotadas por {q 1 , q 2 , . . . , q s }, el cual
tiene asociado un conjunto de velocidades generalizadas { ˙q 1 , ˙q 2 , . . . , ˙q s }.
Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino
que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, o
inclusive pueden ser otras variables físicas. Las coordenadas generalizadas {q 1 , q 2 , . . . , q s }
están relacionadas con las coordenadas cartesianas {r 1 , r 2 , . . . , r N } por un conjunto de
transformaciones:
r 1 = r 1 (q 1 , q 2 , . . . , t),
r 2 = r 2 (q 1 , q 2 , . . . , t),
.
r N = r N (q 1 , q 2 , . . . , t).
(1.89)
En general, el conjunto de ligaduras f α (r 1 , r 2 , . . . , r N , t) = 0, α = 1, 2, . . . , k, y las
transformaciones r i (q 1 , q 2 , . . . , q s , t) = r i , i = 1, 2, . . . , N, permiten expresar las coordenadas
generalizadas en términos de las coordenadas cartesianas, q j = q j (r 1 , r 2 , . . . , r N , t),
j = 1, 2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformaciones r i ↔ q j son invertibles.
También pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales
se denominan restricciones no holonómicas. Éstas se expresan como desigualdades o
en forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas.
Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas:
1. Péndulo plano.
Consiste en una partícula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de una
varilla rígida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo está fijo, tal que
la varilla cual puede girar en un plano vertical.