Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculamos la derivada total con respecto al tiempo de V (r, t) = V (x, y, z, t),
dV (r)
dt
=
3∑
i=1
∂V
∂x i
ẋ i + ∂V
∂t
= ∇V · v +
∂V
∂t . (1.54)
Luego,
dE
dt
= F · v + ∇V · v +
∂V
∂t
= −∇V · v + ∇V · v +
∂V
∂t
donde hemos empleado F = −∇V , para un sistema conservativo. Luego,
(1.55)
dE
dt = ∂V
∂t . (1.56)
La Ec. (1.56) es la condición para la conservación de la energía mecánica: la energía
mecánica total es constante si la energía potencial V no depende explicitamente del
tiempo,
∂V
∂t = 0 ⇒ dE = 0 ⇒ E = constante. (1.57)
dt
La energía potencial también puede ser definida para sistemas no conservativos; en esos
casos V depende explícitamente tanto de la posición como del tiempo. La fuerza correspondiente
puede expresarse como el gradiente de esta energía potencial. Sin embargo, el
trabajo hecho para mover una partícula entre los puntos 1 y 2 ya no es V 1 − V 2 , puesto
que V cambia con el tiempo cuando la partícula se mueve. La energía total puede ser
definida también como E = T + V ; sin embargo, la cantidad E no se conserva durante
el movimiento.
1.2. Mecánica de un sistema de partículas
Consideremos un conjunto de N partículas en un sistema de referencia cartesiano.
Sean m i y r i la masa y la posición de la partícula i, respectivamente, con i = 1, . . . , N.
Definimos el vector r ij ≡ r j − r i , que va en la dirección de la partícula i a la partícula j.
Figura 1.11: Sistema de partículas en un sistema de referencia cartesiano.