Mecánica Clásica

6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 243
Este tipo de transformaciones se denomina transformaciones puntuales en el espacio de
fase y, en principio, son invertibles, i.e., q i = q i (Q j , P j , t), p i = p i (Q j , P j , t). Denotamos
por H ′ (Q i , P i , t) al Hamiltoniano en términos de las nuevas variables {Q i , P i }.
En contraste con la formulación Lagrangiana, la forma de las ecuaciones de Hamilton,
en general, no se preserva en las nuevas coordenadas y momentos {Q i , P i }. Por ejemplo,
supongamos un sistema con Hamiltoniano H(q i , p i ) en el cual se cumplen las ecuaciones
de Hamilton Ecs. (6.103), y consideremos la siguiente transformacion puntual {q i , p i } →
{Q i , P i } en el espacio de fase,
Q i = −p i , P i = q i (6.105)
El Hamiltoniano en la nuevas variables será H ′ (Q i , P i ). Las ecuaciones de Hamilton en
las variables {Q i , P i } se transforman de acuerdo a
˙q i = ∂H =⇒ P
∂p ˙ i = ∂H′ = ∑ ( )
∂H
′
∂Q k
+ ∂H′ ∂P k
i ∂p i ∂Q k ∂p i ∂P k ∂p i
k
∂H ′
δ ik = − ∂H′ . (6.106)
∂Q k ∂Q i
ṗ i = − ∂H =⇒ −
∂q ˙Q i = − ∂H′ = − ∑
i ∂q i
k
= − ∑ k
( )
∂H
′
∂Q k
+ ∂H′ ∂P k
∂Q k ∂q i ∂P k ∂q i
= − ∑ k
∂H ′
∂P k
δ ik = − ∂H′
∂P i
. (6.107)
Luego, en las variables {Q i , P i } también se satisfacen las ecuaciones de Hamilton. Sin
embargo, es fácil notar que la transformación puntual
Q i = p i , P i = q i , (6.108)
no preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton en las variables {P i , Q i }.
Una transformación puntual de variables del espacio de fase que mantiene invariante
la forma de las ecuaciones de Hamilton, se denomina transformación canónica.
∣ ∣∣∣∣ H(q i , p i , t)
→ Transformación canónica → H ′ (Q i , P i , t)
∣ ˙q i = ∂H ∣∣∣∣ Q i = Q i (q j , p j , t)
˙Q i = ∂H′ (6.109)
∂p i ∂P
∣ i
ṗ i = − ∂H ∣∣∣∣ P i = P i (q j , p j , t)
P˙
i = − ∂H′
∂q i ∣ ∂Q i
Las transformaciones canónicas son particularmente útiles cuando aparecen coordenadas
cíclicas en las nuevas variables {Q i , P i }, es decir, cuando el Hamiltoniano transformado
H ′ (Q i , P i , t) no depende explícitamente de alguna coordenada Q j o momento