Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Los momentos conjugados a las coordenadas r y ϕ son
Luego,
p r = ∂L
∂ṙ
= mṙ csc 2 α (6.27)
p ϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ. (6.28)
El Hamiltoniano es
ṙ =
p r
m csc 2 α
(6.29)
˙ϕ = p ϕ
mr 2 . (6.30)
H = ∑ i
p i ˙q i − L = p r ṙ + p ϕ ˙ϕ − 1 2 mṙ2 csc 2 α − 1 2 mr2 ˙ϕ 2 + mgr cot α. (6.31)
Sustituyendo ṙ y ˙ϕ, obtenemos
H(r, ϕ, p r , p ϕ ) =
Las ecuaciones de Hamilton son
Adicionalmente,
p 2 r
2m csc 2 α +
p2 ϕ
+ mgr cot α. (6.32)
2mr2 ˙ϕ = ∂H =
p ϕ
∂p ϕ mr 2 (6.33)
ṙ = ∂H p r
=
∂p r m csc 2 α
(6.34)
ṗ ϕ = − ∂H
∂ϕ = 0 ⇒ p ϕ = mr 2 ˙ϕ = cte (6.35)
ṗ r = − ∂H
∂r =
p2 ϕ
− mg cot α. (6.36)
mr3 ∂H
∂t = 0 ⇒ H(r, ϕ, p r, p ϕ ) = cte. (6.37)
La función H(r, ϕ, p r , p ϕ ) = cte describe una hipersuperficie 3-dimensional en el
espacio de fase 4-dimensional correspondiente a r, ϕ, p r , p ϕ .
3. Encontrar el Hamiltoniano de una partícula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v, en un campo electromagnético E y B.
La energía potencial de la partícula en el campo electromagnético es (Cap. 2)
V = qφ − q A · v, (6.38)
c