Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ejemplo.
1. Similitud mecánica y período orbital para potenciales centrales V (r) = −kr −n .
Una similitud mecánica es una transformación de las escalas de longitud y de tiempo
que deja invariante la forma de la ecuación de movimiento de una partícula.
La ecuación de movimiento de una partícula de masa m en este potencial es
m¨r = −∇V (r) = − kn ˆr. (3.175)
rn+1 Sea a = (r min + r max ) la longitud que caracteriza el tamaño de una órbita finita;
por ejemplo el semieje mayor en una órbita elíptica, y sea T el tiempo requerido
para recorrer esa distancia; por ejemplo, el período de una órbita elíptica sería 2T .
Consideremos la transformación
donde λ y τ son constantes. Entonces
r ′ = λr, t ′ = τt, (3.176)
dr
= τ dr ′
dt λ dt ′ , (3.177)
d 2 r
dt 2 = d ( ) dr
= τ ( )
d dr
′
dt dt λ dt dt ′ = τ 2 d 2 r ′
. (3.178)
λ dt
′2
La ecuación de movimiento en las nuevas variables r ′ y t ′ se transforma como
( ) τ
2
m¨r ′ = −λ (n+1) kn
λ
r ′(n+1) ˆr′ . (3.179)
La ecuación de movimiento preserva su forma si
τ = λ (n+2)/2 . (3.180)
Por otro lado, la longitud característica a y el tiempo característico T se transforman
según las relaciones
a ′ = λa, T ′ = τT. (3.181)
Luego,
Entonces, podemos escribir
T ′ ( ) a
′ (n+2)/2
T = . (3.182)
a
T ∝ a (n+2)/2 , (3.183)
donde la constante de proporcionalidad T ′ /a ′(n+2)/2 toma su valor en algun sistema
de referencia. Para n = 1 tenemos el potencial gravitacional y la Ec. (3.183) reproduce
la Tercera Ley de Kepler, T ∝ a 3/2 . Para n = −2, el potencial corresponde a
un oscilador armónico tridimensonal, y la Ec. (3.183) indica que el período de la
órbita es independiente de su tamaño o amplitud.