Mecánica Clásica

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 209
Si I ik es diagonal, podemos escribir las ecuaciones de Euler como
τ 1 = I 11 ˙Ω1 + Ω 2 Ω 3 (I 33 − I 22 )
τ 2 = I 22 ˙Ω2 + Ω 1 Ω 3 (I 11 − I 33 )
τ 3 = I 33 ˙Ω3 + Ω 1 Ω 2 (I 22 − I 11 )
(5.172)
Ejemplos.
1. Movimiento de un cuerpo rígido asimétrico libre, (τ = 0), con I 33 > I 22 > I 11 .
Puesto que no hay torque, l = cte, i.e., la dirección y la magnitud del vector
momento angular son constantes. Por otro lado, el Lagrangiano de este sistema es
independiente del tiempo; luego la energía E = T rot se conserva. Existen tres grados
de libertad (los tres ángulos de Euler) y tres cantidades conservadas (dirección de
l, magnitud l y E); por lo tanto, este sistema es integrable.
El movimiento se analiza más fácilmente en términos de las componentes Ω i de la
velocidad angular en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ), usando las ecuaciones
de Euler para cuerpos rígidos, Ecs. (5.172). La dirección del vector l, vista en
el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) fijo en el cuerpo, no es constante; pero la
magnitud l y la energía, que son cantidades escalares, sí lo son.
La magnitud de la velocidad angular en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) es
donde hemos utilizado l i = I ii Ω i .
La energía es
l 2 = l 2 1 + l 2 2 + l 2 3 = I 2 11Ω 2 1 + I 2 22Ω 2 2 + I 2 33Ω 2 3 = cte, (5.173)
E = 1 2
(
I11 Ω 2 1 + I 22 Ω 2 2 + I 33 Ω 2 )
3 = cte. (5.174)
Luego, las componentes de l satisfacen el par de ecuaciones
l 2 1
2EI 11
+ l2 2
2EI 22
+ l2 3
2EI 33
= 1 (5.175)
l 2 1 + l 2 2 + l 2 3 = l 2 . (5.176)
La primera ecuación describe un elipsoide en las componentes (l 1 , l 2 , l 3 ) con semiejes
√ 2EI11 , √ 2EI 22 y √ 2EI 33 , donde √ 2EI 33 es el semieje mayor y √ 2EI 11 es el
semieje menor. La segunda ecuación corresponde a una esfera de radio igual a l
en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ). Ambas ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente.
Luego, el movimiento relativo del vector l descrito en el sistema de coordenadas
(x 1 , x 2 , x 3 ) debe ocurrir sobre una trayectoria de intersección de las dos superficies,
el elipsoide y la esfera, vistas en ese sistema. La condición para que exista tal
intersección es que el radio de la esfera se encuentre entre el semieje menor y el
semieje mayor del elipsoide, es decir,
2EI 11 < l 2 < 2EI 33 . (5.177)