MecÃ¡nica ClÃ¡sica

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206 CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS Entonces, el Lagrangiano del sistema en términos de los ángulos de Euler es L = ( ) 2 ( ) 2 I 33 ′ ˙φ sin θ sin ψ + ˙θ cos ψ + I ′ 33 ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ ( ˙ψ + ˙φ ) 2 cos θ − mgd sin θ sin ψ + I′ 33 2 = I ′ 33( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + I′ 33 2 ( ˙ψ + ˙φ ) 2 cos θ − mgd sin θ sin ψ. (5.161) La coordenada φ es cíclica, por lo que su momento conjugado es constante, ∂L ∂ ˙φ = 2I′ ˙φ ( 33 sin 2 θ + I 33 ′ ˙ψ + ˙φ cos θ) cos θ [ = I 33 ′ ˙φ(1 + sin 2 θ) + ˙ψ ] cos θ ≡ l z = cte. (5.162) La cantidad conservada es la componente z del momento angular, puesto que el torque ejercido por la fuerza gravitacional no posee componente en la dirección z. El Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, lo que implica que la energía mecánica total se conserva, E = T + V = cte. = I ′ 33( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + I′ 33 2 ( ˙ψ + ˙φ ) 2 cos θ + mgd sin θ sin ψ. (5.163) El sistema posee tres grados de libertad (los ángulos de Euler) y dos cantidades conservadas E y l z , relacionadas con las simetrías explícitas del Lagrangiano del sistema. Sofia Kovalevskaya encontró una tercera cantidad conservada no trivial, cuya relación con las simetrías del sistema no es en absoluto evidente, K ≡ ( Ω 2 1 − Ω 2 2 − mgd ) 2 I 33 ′ u 1 + ( 2Ω 1 Ω 2 − mgd ) 2 I 33 ′ u 2 = cte. (5.164) Sustitución de Ω 1 , Ω 2 y u 2 , en términos de los ángulos de Euler conduce, después del álgebra correspondiente, a ( K = ˙θ2 − ˙φ ) 2 2 sin 2 mgd [( θ + 2 θ 2 − ˙φ ) 2 sin 2 θ sin ψ − 2 ˙θ ˙φ ] sin θ cos ψ sin θ + I ′ 33 ( ) 2 mgd sin 2 θ. (5.165) I ′ 33 La existencia de la constante K, junto con E y l z , permite que este sistema sea integrable, aunque el procedimiento matemático para reducir las ecuaciones de movimiento es bastante laborioso. La simetría asociada con la cantidad conservada K no es evidente. El método desarrollado por Kovalevskaya para encontrar esta cantidad conservada sigue siendo un problema de investigación. Se han descubierto unos pocos sistemas dinámicos que poseen cantidades conservadas para ciertos valores de sus parámetros, y que están relacionadas con simetrías no triviales del sistema.
5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 207 Figura 5.28: Izquierda: Sofia Kovalevskaya (1850 -1891). Derecha: Movimiento del eje del trompo de Kovalevskaya en el espacio. A pesar de su apariencia, el movimiento no es caótico. 3. Si I 11 ≠ I 22 ≠ I 33 , el trompo es asimétrico. En ese caso, l 3 no se conserva; no existen suficientes simetrías en el Lagrangiano, por lo que el sistema no es integrable. Bajo estas condiciones, el movimiento es caótico para ciertos valores de parámetros. Figura 5.29: Movimiento caótico de un trompo asimétrico con su punto inferior fijo. (a) Ω 1 en función del tiempo. (b) Diferencia ∆Ω 1 en función de t para dos trayectorias correspondientes a dos condiciones iniciales separadas en ∆Ω 1(0) = 10 −6 . (c) Movimiento del trompo en el espacio.
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