Mecánica Clásica

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 103
La cantidad conservada es el momento conjugado a la coordenada angular θ y corresponde
a la magnitud del momento angular de la partícula de masa µ,
l = µr 2 ˙θ = cte. (3.23)
Por otro lado, L en la Ec. (3.20) es independiente del tiempo y el potencial es independiente
de las velocidades, por lo que la energía mecánica total se conserva,
∂L
∂t
La energía E provee una sexta cantidad conservada,
= 0 ⇒ E = T + V = cte. (3.24)
E = 1 2 µ (ṙ 2 + r 2 ˙θ2 ) + V (r)
l 2
= 1 2 µṙ2 + 1 + V (r) = cte. (3.25)
2 µr2 Entonces, en el problema de dos cuerpos existen seis grados de libertad y al menos seis
cantidades conservadas; luego, se trata de un sistema integrable.
Figura 3.5: Coordenadas del movimiento de la masa reducida.
Las cantidades conservadas, E y l, permiten la integración de las coordenadas r y θ.
La Ec. (3.25) corresponde a un problema de movimiento unidimensional en la coordenada
r, el cual es integrable (Sec. 2.9). A partir de la Ec. (3.25) obtenemos
√
ṙ = dr (
)
dt = 2
E − V (r) −
l2
µ
2µr 2 . (3.26)
Usando como condición inicial en t = 0 los valores de coordenadas r = r 0 , θ = θ 0 ,
podemos obtener t(r),
√ ∫ µ r
dr
t(r) = √
, (3.27)
2 r 0
E − V (r) −
l2
2µr 2
y, mediante inversión, podemos obtener r(t) en función de tres constantes de integración:
r 0 , E, l.