Mecánica Clásica

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 277
√
Con el cambio variables sin x =
J = 1
2π
k
2E
Luego, el Hamiltoniano en términos de J es
q, obtenemos
√
√
∫ 2E π/2
2mE
k 4 cos 2 x dx
0
= 4 π
√ m
k E π 4 = √ m
k E . (6.326)
La frecuencia del movimiento es
√
k
H ′ (J) = E = J. (6.327)
m
˙ϕ = ω = ∂H′
∂J = √
k
m . (6.328)
2. Encontrar el período del movimiento de una partícula de masa m y velocidad v que
choca elásticamente entre dos paredes paralelas separadas por una distancia L.
Figura 6.21: Partícula chocando elásticamente entre dos paredes paralelas. Izquierda: espacio
físico. Derecha: espacio de fase (q, p).
La energía de la partícula es constante,
y el Hamiltoniano correspondiente es
Usando
E = 1 2 mv2 = cte , (6.329)
H = p2
= E. (6.330)
2m
p = ∂W
∂q , (6.331)
obtenemos la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,
( ) 2
1 ∂W
= E. (6.332)
2m ∂q