Mecánica Clásica

112
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
3.3. Ecuación diferencial de la órbita.
En la Sec. 3.1 vimos que, dado V (r) y cuatro constantes (E, l, r 0 , θ 0 ), se pueden
determinar t(r) (y por tanto r(t)) y θ(r), mediante integración y que, en particular,
existen formas de potenciales V (r) integrables explícitamente en términos de funciones
circulares.
Consideremos ahora el problema inverso; es decir, dada una órbita r(θ) determinar
el potencial V (r) (y la fuerza f(r)) que produce ésta órbita. Esto es posible mediante la
obtención de la ecuación diferencial de la órbita.
Consideremos la ecuación de movimiento Ec (3.49) para r(t),
µ¨r − l2
= f(r) = −∂V
µr3 ∂r
(3.75)
La Ec. (3.75) se puede transformar en una ecuación diferencial para r(θ). Las derivadas
temporales de r(t) se pueden expresar
ṙ = dr
dt = dr dθ
dθ dt = l dr
µr 2 dθ
(3.76)
donde hemos usado ˙θ =
l
µr 2 .
En general, para una función g(θ),
⇒
dg
dt
d
dt
= dg
dθ
=
dθ
dt =
l dg
µr 2 dθ
(3.77)
l d
µr 2 dθ . (3.78)
Luego,
¨r = d dt
=
( ) dr
dt
l d
µr 2 dθ
= d ( ) l dr
dt µr 2 dθ
( l dr
µr 2 dθ
(3.79)
)
. (3.80)
Sustitución en la Ec. (3.75) da
( )
l d l dr
r 2 dθ µr 2 − l2
dθ µr 3 = −∂V ∂r . (3.81)
Usando el cambio de variables,
u = 1 r , (3.82)
du
dθ = − 1 dr dr
r 2 = −u2
dθ dθ , (3.83)