Mecánica Clásica

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.47
Luego,
⎛
⎞
( )
d ∂L
dt ∂ ˙Q
− ∂L = d s∑
⎝
∂L ∂q j
⎠ −
i ∂Q i dt ∂ ˙q j ∂Q i
=
j=1
s∑
j=1
( ∂L ∂q j
+ ∂L )
∂ ˙q j
∂q j ∂Q i ∂ ˙q j ∂Q i
s∑
[ ( ∂qj d ∂L
− ∂L )
+ ∂L ( d ∂q j
− ∂ ˙q )]
j
. (1.199)
∂Q i dt ∂ ˙q j ∂q j ∂ ˙q j dt ∂Q i ∂Q i
j=1
El primer término en la Ec. (1.199) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.190). Por otro lado,
∂ ˙q j
=
∂ ( ) dqj
= d ( ) ∂qj
, (1.200)
∂Q i ∂Q i dt dt ∂Q i
por lo cual, el segundo término en la Ec. (1.199) también se anula. Luego,
( )
d ∂L
dt ∂ ˙Q
− ∂L = 0. (1.201)
i ∂Q i
Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transformaciones
puntuales de las coordenadas generalizadas.
Por ejemplo, consideremos una partícula en un plano. Las ecuaciones de Lagrange
para la partícula en coordenadas cartesianas {q i } = {x, y} tienen la misma forma que las
correspondientes ecuaciones en coordenadas polares {Q i } = {r, ϕ}, donde las relaciones
q i = q i (Q j , t) son
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ.
1.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios
sistemas.
1. Péndulo simple.
Figura 1.34: Coordenada generalizada θ para el péndulo simple.