Mecánica Clásica

4.3. MODOS NORMALES. 169
La energía potencial del sistema es
V = 1 2 k(y 1 − l) 2 + 1 2 k(y 2 − y 1 − l) 2 − m 1 gy 1 − m 2 gy 2 . (4.129)
Las posiciones de equilibrio están dadas por
∣
∂V
= 0,
∂y 1
∣∣∣(y01,y 02)
∣
∂V
= 0 ; (4.130)
∂y 2
∣∣∣(y01,y 02)
esto es,
lo que conduce a
∣
∂V
= k(y 01 − l) − k(y 02 − y 01 − l) − m 1 g = 0 (4.131)
∂y 1
∣∣∣(y01,y 02)
∣
∂V
= k(y 02 − y 01 − l) − m 2 g = 0, (4.132)
∂y 2
∣∣∣(y01,y 02)
y 01 = l + (m 1 + m 2 )g
k
, y 02 = y 01 + l + m 2g
k . (4.133)
La energía potencial, Ec. (4.129), se puede expresar en términos de los pequeños
desplazamientos,
V = 1 2
∑
i,j
∣
V ij η i η j , donde V ij = ∂2 V
. (4.134)
∂y i ∂y j
∣∣∣(y01,y 02)
Luego,
V 12 =
∂2 V
V 11 = ∂2 V
∂y 2 1
V 22 = ∂2 V
∂y 2 2
∣ = 2k (4.135)
(y01,y 02) ∣ = k (4.136)
(y01,y 02)
∣
= −k = V 21 . (4.137)
∂y 1 ∂y 2
∣∣∣(y01,y 02)
La energía cinética es
T = 1 2 m 1ẏ 2 1 + 1 2 m 2ẏ 2 2 = 1 2 m 1 ˙η 2 1 + 1 2 m 2 ˙η 2 2 . (4.138)
Comparando con la forma
T = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j , (4.139)
2
i,j