MecÃ¡nica ClÃ¡sica

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310 APÉNDICE C. TEOREMA DEL VIRIAL. Si g(t) es una función que toma valores continuos en el tiempo, su promedio temporal se define como ∫ 1 τ 〈g〉 ≡ lím g(t)dt. (C.5) τ→∞ τ Si g(t) = df , para una función f acotada, |f(t)| < ∞, entonces dt ∫ 1 τ df f(τ) − f(0) 〈g〉 = lím dt = lím = 0. (C.6) τ→∞ τ 0 dt τ→∞ τ Si tomamos el promedio temporal en todos los términos de la Ec. (C.3), y suponiendo que los movimientos de las partículas son finitos, obtenemos el teorema del virial, 0 2〈T 〉 = −〈 ∑ i r i · F i 〉. (C.7) Si F i = −∇V (r i ) (fuerzas conservativas), el teorema del virial tiene la forma 〈〉〈T 〉 = 1 ∑ r i · ∇V (r i ) . (C.8) 2 i Como una aplicación, consideremos una partícula en campo central V (r) = kr n . Entonces, el teorema del virial para esta fuerza conservativa establece que 〈T 〉 = 1 〈 r ∂V 〉 = n 〈V 〉. (C.9) 2 ∂r 2 Para el potencial de Kepler, con n = −1, el teorema del virial, Ec. (C.9), da El promedio de la energía total se puede expresar como 〈T 〉 = − 1 〈V 〉. (C.10) 2 〈E〉 = 〈T 〉 + 〈V 〉 = constante = E (C.11) E = −〈T 〉 < 0, (C.12) puesto que 〈T 〉 siempre es una cantidad positiva. El hecho de que la energía total sea negativa es compatible con un movimiento finito de la partícula en el potencial de Kepler (Capítulo 3). El potencial de un oscilador armónico corresponde a n = 2. En este caso, la Ec. (C.9) resulta en 〈T 〉 = 〈V 〉, (C.13) y la energía total es positiva, como se espera, E = 〈T 〉 + 〈V 〉 = 2〈T 〉 > 0. (C.14)
Apéndice D Bibliografía 1. L. D. Landau and E. M. Liftshitz, Mechanics, 3rd. Edition, Pergamon Press (1976). 2. H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd. edition, Addison-Wesley (2002). 3. H. Iro, A modern approach to Classical Mechanics, World Scientific (2002). 4. J. José and E. J. Saletan, Classical Mechanics: a contemporary approach, Cambridge University Press (1998). 5. J. L. McCauley, Classical Mechanics: transformations, flows, integrable and chaotic dynamics, Cambridge University Press (1997). 6. T. Tél and M. Gruiz, Chaotic Dynamics: an introduction based on Classical Mechanics, Cambridge University Press (2006). 7. F. Scheck, Mechanics: From Newton’s Laws to Deterministic Chaos, 5th. edition, Springer (2010). 8. J. Michael Finn, Classical Mechanics, Infinity Science Press LLC (2008). 9. T. W. B. Kibble and F. H. Berkshire, Classical Mechanics, Imperial College Press (2004). 10. G. J. Sussman and J. Wisdom, Structure and interpretation of Classical Mechanics, MIT Press (2001). 11. M. G. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag (1990). 12. A. J. Lichtenberg and M.A. Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics, 2nd. Edition, Springer-Verlag (1992). 13. D. Ter Haar, Elements of Hamiltonian Mechanics, Pergamon Press (1971). 14. G. L. Kotkin and V. G. Serbo, Collection of problems in Classical Mechanics, Pergamon Press (1971). 311
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Mario Cosenza Mecánica Clásica Ve
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