Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
resultado s valores para las frecuencias ω 2 , llamadas frecuencias características del sistema,
que corresponden a los diferentes modos de oscilaciones del sistema alrededor de
su configuración de equilibrio.
Las frecuencias ω deben ser reales para que las soluciones tengan sentido físico. Si
alguna ω es compleja, entonces se puede escribir como ω = a + bi y, por lo tanto,
e iωt = e iat e −bt . Como consecuencia, la solución η(t) ∝ e −bt crece o decrece en el tiempo
y la energía no se conservaría, E ∝ e −bt .
Ejemplos.
1. Encontrar las frecuencias de un sistema de dos partículas de masa m conectadas
mediante resortes horizontales, cada uno con constante k y longitud en reposo l.
El sistema posee dos grados de libertad (s = 2). Consideremos pequeños desplazamientos
del equilibrio η 1 y η 2 , con x i = x 0i + η i , como se muestra en la Fig. (4.4).
Figura 4.4: Oscilaciones de dos partículas conectadas mediante resortes horizontales.
La energía cinética en función de los pequeños desplazamientos del equilibrio es
donde identificamos los coeficientes
T = 1 2 m ˙η2 1 + 1 2 m ˙η2 2 = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j (4.48)
2
i,j
T 11 = m, T 22 = m, T 12 = T 21 = 0. (4.49)
La energía potencial del sistema en términos de los pequeños desplazamientos del
equilibrio es
V = 1 2 kη2 1 + 1 2 k(l′ − l) 2 + 1 2 kη2 2 = 1 2 k[η2 1 + (η 2 − η 1 ) 2 + η 2 2] , (4.50)
donde hemos usado la siguiente relación, observando la Fig. (4.4),
l ′ − l = (x 2 − x 1 ) − (x 02 − x 01 ) = η 2 − η 1 . (4.51)