Mecánica Clásica

2.4. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR E ISOTROPÍA DEL ESPACIO77
⇒
3∑
mẋ j δx j = cte (2.35)
j=1
Puesto que los δx j son constantes arbitrarias, esta expresión es constante sólo si cada
término en la suma; es decir, cada componente del momento lineal del sistema, es
constante,
mẋ j ≡ p j = cte , (2.36)
Luego, la homogeneidad del espacio implica la conservación del momento lineal total.
En un sistema donde existe simetría translacional en una dirección espacial específica,
la componente del momento lineal del sistema en esa dirección se conserva. Si q j = x j
(coordenada generalizada es una coordenada cartesiana) es cíclica, entonces
∂L
= 0 ⇒ p j = ∂L = cte. (2.37)
∂x j ∂x˙
j
Si una coordenada generalizada cartesiana no aparece explicitamente en L, la componente
del momento lineal asociada con esa coordenada es constante.
2.4. Conservación del momento angular e isotropía
del espacio
Isotropía espacial significa que las propiedades mecánicas de un sistema no varían
cuando éste es rotado en el espacio. El Teorema de Noether permite demostrar la relación
entre la isotropía del espacio y la conservación del momento angular de un sistema.
Consideremos una partícula en la posición r = (x, y, z). Supongamos una rotación
infinitesimal del vector r alrededor de un eje, manteniendo su magnitud y su origen O
fijo. Sea δϕ la magnitud constante del ángulo rotado y cuya dirección de rotación sobre
el eje está definida por la regla de la mano derecha.
Figura 2.3: Rotación infinitesimal δϕ = δϕẑ alrededor del eje z.