Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Identificamos en el integrando la funcional
f(y, y ′ x) = x √ 1 + (y ′ ) 2 . (1.131)
La ecuación de Euler,
requiere las derivadas,
( )
d ∂f
dx ∂y ′ − ∂f
∂y
= 0, (1.132)
∂f
∂y = 0,
∂f
∂y ′ = xy ′
√ . (1.133)
1 + y
′2
Sustituyendo en la ecuación de Euler, obtenemos
xy ′
√
1 + y
′2
= a = constante (1.134)
y ′ = dy
dx =
∫
⇒ y = a
a
√
x2 − a 2 (1.135)
dx
√
x2 − a 2 (1.136)
= a ln(x + √ x 2 − a 2 ) + k. (1.137)
Los valores de las constantes a y k se determinan con (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ). Si escribimos
k = b − a ln a, la Ec. (1.137) también se puede expresar como
( ) (
y − b x + √ )
x
= ln
2 − a 2
a
a
que es la ecuación de una catenaria.
3. Braquistocrona (del griego, “tiempo más corto”).
( = cosh −1 x
)
a
(1.138)
( ) y − b
⇒ x = a cosh , (1.139)
a
Encontrar la trayectoria y(x) de una partícula en el campo gravitacional terrestre
que da el menor tiempo posible para ir de un punto (x 1 , y 1 ) a otro punto (x 2 , y 2 )
sin fricción, partiendo del reposo (v 0 = 0).
Fijamos el punto (x 1 , y 1 ) = (0, 0). Para este problema, escogemos la dirección del
eje y hacia abajo, con el fin de obtener la función y(x).
Si v es la magnitud de la velocidad a lo largo de la trayectoria, entonces el elemento
de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de la trayectoria
es
dt = ds
v . (1.140)