Mecánica Clásica

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 267
2. Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas esféricas
en un sistema con simetría azimutal.
Consideremos una partícula en un potencial con simetría azimutal alrededor del
eje z (independiente del ángulo φ) en coordenadas esféricas de la forma,
V (r, θ) = a(r) + b(θ)
r 2 . (6.268)
donde a(r) y b(θ) son funciones dadas. En particular, el problema de Kepler corresponde
a a(r) = −k/r y b(θ) = 0. El Lagrangiano correspondiente a este sistema,
en coordenadas esféricas (Cap. 1), es
L = 1 (
2 m(ṙ2 + r 2 ˙θ2 + r 2 ˙ϕ 2 sin 2 θ) − a(r) + b(θ) )
r 2 . (6.269)
Para este sistema, se obtiene el siguiente Hamiltoniano
(
)
H(r, θ, φ, p r , p θ , p φ ) = 1
(
p 2 r + p2 θ
2m r 2 +
p2 φ
r 2 sin 2 + a(r) + b(θ) )
θ
r 2 . (6.270)
La acción para este sistema es una función S(r, θ, φ, t). Los momentos satisfacen
La ecuación de Hamilton-Jacobi es
p r = ∂S
∂r , (6.271)
p θ = ∂S
∂θ , (6.272)
p φ = ∂S
∂φ . (6.273)
∂S
∂t
+ H = 0. (6.274)
Sustituyendo H y los momentos en la Ec. (6.274), obtenemos la ecuación de Hamilton-
Jacobi para este sistema,
[ (∂S
∂S
∂t + 1 ) 2
+ 1 ( ) 2 ∂S 1
2m ∂r r 2 +
∂θ r 2 sin 2 θ
( ) ] 2 [ ∂S
+ a(r) + b(θ) ]
∂φ
r 2 = 0.
(6.275)
Puesto que el Hamiltoniano es independiente del tiempo y la coordenada φ es
cíclica, podemos buscar una solución en la forma separable
S(r, θ, φ, P 1 , P 2 , P 3 , t) = W r (r, E, P φ , P 3 ) + W θ (θ, E, P φ , P 3 ) + P φ φ − Et, (6.276)
donde hemos tomado W φ = P φ φ, y P 1 = E, P 2 = P φ y P 3 son constantes.