Mecánica Clásica

3.7.
DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 139
El ángulo θ max está dado por la integral
sustituyendo l,
θ max =
√ l ∫ rmax
2m
r min
∫ ∞
θ max = b
r min
dr
√
r 2 E − V (r) −
dr
, (3.239)
l2
2mr 2
√
r 2 1 − V (r)
. (3.240)
E
− b2
r 2
Conociendo θ max , el ángulo de dispersión χ puede determinarse geométricamente.
Como una aplicación del cálculo del ángulo de dispersión de una partícula incidente
en un potencial central, consideremos un potencial de Coulomb repulsivo V (r) = k/r
entre una partícula situada en el foco con carga q = Ze y una partícula incidente con
carga q ′ = Z ′ e, energía E > 0 y parámetro de impacto b. Luego k = qq ′ = ZZ ′ e 2 .
La integral Ec. (3.240) con el cambio de variable
u = 1 r ,
du = −dr
r 2 , (3.241)
se convierte en
∫ um
du
θ max = b
0
√1 − k , (3.242)
E u − b2 u 2
donde los nuevos límites son u = 0 (r → ∞) y u m = 1/r min .
De la ecuación de una hipérbola en un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.233),
tenemos
La integral en la Ec. (3.242) da
r min =
q
e − 1
(3.243)
q u m = e − 1 (3.244)
l 2
mk u m = e − 1 (3.245)
1 + 2Eb2
k
u m = e (3.246)