Mecánica Clásica

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 229
donde el potencial escalar φ y el potencial vector A están relacionados con los
campos E y B mediante
El Lagrangiano es
E = −∇φ − 1 c
∂A
∂t , B = ∇ × A . (6.39)
L = T − V = 1 2 mv2 − qφ + q A · v. (6.40)
c
En coordenadas cartesianas, L se puede expresar como
Los momentos conjugados son
luego,
L(x i , ẋ i ) = 1 3∑
2 m ẋ 2 i − qφ + q c
i=1
3∑
A i ẋ i . (6.41)
i=1
p j = ∂L
∂ẋ j
= mẋ j + q c A j ; (6.42)
ẋ j = 1 m
El Hamiltoniano de la partícula es
(
p j − q )
c A j . (6.43)
H = ∑ j
p j ẋ j − L. (6.44)
Sustituyendo la velocidad ẋ j de la Ec. (6.43), tenemos
H = 1 ∑
p j
(p j − q )
m
c A j − 1 ∑ (
p j − q ) 2
2m c A 1 q ∑
j + qφ − A j
(p j − q )
m c
c A j
j
j
j
= 1 ∑ (
p j − q ) (
m c A j p j − q )
c A j − 1 ∑ (
p j − q 2
j)
2m c A + qφ
= 1 m
=
1
2m
j
∑
j
∑
j
(
p j − q ) 2
c A 1
j −
2m
∑
j
j
(
p j − q c A j) 2
+ qφ
(
p j − q c A j) 2
+ qφ. (6.45)
Luego, el Hamiltoniano para una partícula en un campo electromagnético es
H(r, p) = 1 (
p − q ) 2
2m c A + qφ . (6.46)
Cabe destacar que el Hamiltoniano para una partícula en un campo electromagnético
en Mecánica Cuántica tiene la misma forma que en la Mecánica Clásica, Ec. (6.46).