Mecánica Clásica

2.2. TEOREMA DE NOETHER 73
Calculemos la componente z de l,
ẋ = ṙ cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ
ẏ = ṙ sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ .
(2.12)
l z = m(xẏ − yẋ) = mr 2 ˙ϕ. (2.13)
Luego, la cantidad conservada, p ϕ = mr 2 ˙ϕ ≡ l z , es la componente z del momento
angular de la partícula.
2.2. Teorema de Noether
Vimos en el Cap. 1 que las ecuaciones de movimiento son invariantes si el Lagrangiano
de un sistema se transforma mediante la adición de una derivada total de alguna función
f(q j , t) dependiente solamente de las coordenadas y del tiempo.
Sea
∫ t2
S = L dt (2.14)
t 1
la acción correspondiente a un Lagrangiano L. Consideremos la transformación
L ′ = L + df(q j, t)
dt
. (2.15)
La acción asociada con L ′ es
∫ t2
∫ t2
∫ t2
( ) df
S ′ = L ′ dt = L dt + dt
t 1 t 1 t 1
dt
= S + [f(q j (t 2 ), t 2 ) − f(q j (t 1 ), t 1 )] = S + cte. (2.16)
Luego,
δS = δS ′ . (2.17)
El principio de mínima acción implica δS = δS ′ = 0. Luego, las ecuaciones de Lagrange
derivadas de este principio usando L o L ′ , tienen la misma forma; es decir, son invariantes
ante la transformación (2.15).
Una transformación infinitesimal L → L ′ = L + δL que no modifica las ecuaciones de
movimiento representa una simetría del sistema (también llamada simetría de la acción).
Se dice que la acción es invariante bajo tal transformación.
Teorema de Noether en Mecánica Clásica.
Si la acción de un sistema con Lagrangiano L(q j , ˙q j , t) is invariante bajo
la transformación infinitesimal de coordenadas q j ′ = q j + δq j que cambia el
Lagrangiano a L ′ = L+δL, tal que δL = df(qj,t) , para alguna función f(q j , t),
entonces la cantidad
J =
s∑
j=1
dt
∂L
δq j − f (2.18)
∂q˙
j