Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
En los problemas de extremos en el cálculo diferencial buscamos el valor de una
variable para el cual una función es máxima o mínima. En cambio, los problemas de
extremos en el cálculo variacional consisten en encontrar la función que hace que una
integral definida sea extrema.
Principio variacional:
Dada una funcional f(y, y ′ , x), ¿cuál es la y(x) que hace que la integral definida
de línea:
∫ x2
I = f(y, y ′ , x)dx , (1.108)
x 1
tenga un valor extremo (máximo ó mínimo) entre x 1 y x 2 .
Note que I es una integral definida y, por tanto, da como resultado un número cuyo
valor depende de la función y(x) empleada en el argumento de la funcional dada
f(y, y ′ , x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y ′ (x)), entonces cualquier
otra trayectoria cercana a y(x) definida entre x 1 y x 2 debe incrementar (o disminuir) en
valor de la integral I, es decir, debe variar I.
Se emplea la notación δI para indicar la variación de I. Luego, δI = 0 implica que I
es extremo.
El principio variacional sobre I requiere que δI = 0 para una f dada, lo cual implica
una condición sobre y(x). Para encontrar esta condición, supongamos que y(x) es la
función que pasa por x 1 y x 2 , y que hace δI = 0. Ahora, consideremos una trayectoria
cercana a y(x) definida como
y(x, α) = y(x) + α η(x), (1.109)
donde α es un parámetro que mide la desviación con respecto a la función y(x) y η(x) es
una función arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe η ′ (x)), tal que se anule en los
puntos x 1 y x 2 : η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0. Entonces y(x, α) también pasa por (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ):
y(x 1 , α) = y(x 1 ) = y 1 (1.110)
y(x 2 , α) = y(x 2 ) = y 2
Figura 1.23: Trayectoria y(x, α) = y(x) + α η(x).
Note que y(x, 0) = y(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, α),
I =
∫ x2
x 1
f(y(x, α), y ′ (x, α), x)dx = I(α), (1.111)