Mecánica Clásica

2.7. POTENCIALES DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD 83
Lagrangiano de una partícula en un campo electromagnético.
Un importante ejemplo de fuerza generalizada es aquella experimentada por una
partícula en un campo electromagnético.
Experimentalmente, se sabe que una partícula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v, en presencia de un campo eléctrico E(r, t) y un campo magnético B(r, t)
está sujeta a una fuerza
F = q
(E + v )
c × B , (2.72)
llamada fuerza de Lorentz, donde c es la velocidad de la luz. La contribución del campo
magnético a esta fuerza depende de la velocidad, por lo que F constituye una fuerza
generalizada.
Para encontrar el potencial V asociado a la fuerza de Lorenz y el correspondiente
Lagrangiano de una partícula en un campo electromagnético, consideremos primero las
ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t):
∇ · E = 4πρ (2.73)
∇ × E + 1 ∂B
c ∂t = 0 (2.74)
∇ · B = 0 (2.75)
∇ × B − 1 ∂E
c ∂t = 4π J.
c
(2.76)
La Ec. (2.75) implica B = ∇ × A, donde A(r, t) se denomina potencial vector. Sustituyendo
B en la Ec. (2.74),
∇ × E + 1 c
∇ ×
∂
∂t
(
E + 1 c
(∇ × A) = 0 (2.77)
)
∂A
= 0 . (2.78)
∂t
El término entre paréntesis en la Ec. (2.78) debe ser proporcional al gradiente de una
cantidad escalar; se escoge
E + 1 c
∂A
∂t
⇒ E = −∇φ − 1 c
= −∇φ (2.79)
∂A
∂t . (2.80)
La cantidad φ(r, t) se denomina potencial escalar. Luego, la fuerza de Lorentz, Ec. (2.72),
se puede expresar en términos de los potenciales φ(r, t) y A(r, t) como
[
F = q −∇φ − 1 ∂A
c ∂t + v ]
c × (∇ × A) . (2.81)
Para encontrar la energía potencial V (r, ṙ) de la cual se deriva esta fuerza generalizada,
consideremos el término v × (∇ × A). Usamos la identidad vectorial
∇(A · v) = A ×✘ ✘✘✘✿ 0
(∇ × v) + v × (∇ × A) + ✘ ✘✘ ✘ ✘✿ 0
(A · ∇)v + (v · ∇)A, (2.82)