Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Luego, en sistemas homogéneos en el tiempo, la función de energía del sistema se conserva.
E(q j , q˙
j ) = cte. (2.54)
La función de energía se puede calcular para cualquier sistema, pero es constante sólo
si ∂L
∂t
= 0. Sistemas para los cuales E(q j, q˙
j ) es constante, se llaman sistemas conservativos.
Veremos bajo qué condiciones la función de energía es igual a T + V .
En el Cap. 6 veremos que la función de energía, expresada en términos de las coordenadas
q j y de sus momentos conjugados p j , recibe el nombre de Hamiltoniano del sistema
y se designa como H(q j , p j ) ≡ ∑ s
j=1 p jq˙
j − L.
2.6. Teorema de Euler para la energía cinética
Una función f(y 1 , . . . , y s ) es homogénea de grado (orden) n si, ∀λ ∈ R, satisface:
f(λy 1 , . . . , λy s ) = λ n f(y 1 , . . . , y s ). (2.55)
Ejemplos.
1. f(x 1 , ..., x s ) = ∑ s
i=1 xm i ,
f(λx 1 , ..., λx s ) = ∑ i λm x m i = λ m ∑ i xm i = λ ms f ( f es homogénea).
2. f(x 1 , ..., x s ) = ∏ s
i=1 xm i ,
f(λx 1 , ..., λx s ) = ∏ i λm x m i = λ m ∏ i xm i = λ m f (f es homogénea).
3. f(x 1 , ..., x s ) = ∑ s
i=1 sin x i,
f(λx 1 , ..., x s ) = ∑ i sin(λx i) ≠ λ n ∑ i sin x i = λ n f
(f no es homogénea).
Teorema de Euler para funciones homogéneas.
Si f(y 1 , . . . , y s ) es una función homogénea de grado n, entonces f satisface:
s∑
i=1
También se puede escribir como
y i
∂f
∂y i
= nf . (2.56)
∇f · y = nf. (2.57)