Mecánica Clásica

5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 199
La velocidad angular de rotación del trompo sobre su eje de simetría x 3 se obtiene
de
l cos θ = I 33 ( ˙ψ + ˙φ cos θ) (5.115)
⇒ ˙ψ = l cos θ (I 11 − I 33 )
= cte .
I 11 I 33
(5.116)
Las componentes de la velocidad angular Ω son
Ω 1 = ˙θ = 0 (5.117)
Ω 2 = l sin θ = cte
I 11
(5.118)
Ω 3 = l cos θ = cte,
I 33
(5.119)
es decir que Ω yace siempre sobre el plano (x 2 , x 3 ). Como el plano (x 2 , x 3 ) rota
alrededor de l, entonces Ω también precesa alrededor de la dirección fija de l con
˙φ = cte.
5.4. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos.
Las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rígidos pueden plantearse en términos de
los ángulos de Euler, que describen los grados de libertad correspondientes al movimiento
de rotación del cuerpo.
La energía cinética de rotación de un cuerpo rígido está dada por la Ec. (5.38),
T rot = 1 ∑
I ik Ω i Ω k , (5.120)
2
i,k
Las componentes Ω i de la velocidad angular pueden expresarse en función de los
ángulos de Euler (θ, φ, ψ) y de sus correspondientes velocidades,
Ω 1 = ˙φ sin θ sin ψ + ˙θ cos ψ (5.121)
Ω 2 = ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ (5.122)
Ω 3 = ˙ψ + ˙φ cos θ. (5.123)
La energía potencial del cuerpo corresponde a la energía potencial de su centro de
masa, y en general también puede expresarse en términos de los ángulos de Euler. Luego,
el Lagrangiano de un cuerpo rígido puede expresarse como
L = T − V = L(θ, φ, ψ, ˙θ, ˙φ, ˙ψ). (5.124)
En general, las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rígidos pueden ser complicadas.
Los casos mas simples son los que presentan simetrías, como los cuerpos con simetría
axial (trompos) o esférica.