Mecánica Clásica

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 265
donde P = E = α es la única constante de integración para la Ec. (6.249). Sustitución
en la Ec. (6.249) da
[ (∂W ) ]
2
1
+ m 2 ω 2 q 2 = E . (6.251)
2m ∂q
Calculamos W (q, E),
∂W
∂q = (2mE − m2 ω 2 q 2 ) 1/2 , (6.252)
Luego,
W (q, E) = √ ∫ √ 1 − mω
2mE
2 q 2
dq. (6.253)
2E
S(q, E, t) = √ ∫ √ 1 − mω
2Em
2 q 2
dq − Et. (6.254)
2E
La función S(q, E, t) permite encontrar las relaciones de la transformación canónica
generada por S a partir de sus derivadas parciales,
La relación Ec. (6.256) da
p = ∂S
∂q = ∂W
∂q
(6.255)
Q = ∂S
∂P = ∂S = β = cte.
∂E
(6.256)
Q = ∂S √ ∫ m
∂E = 2E
Integrando la Ec. (6.257), obtenemos 1
y despejando q,
q(Q, E, t) =
La relación Ec. (6.255) da
√
Q + t = 1 ω sin−1 (ωq
dq
1 − mω2 q 2
2E
− t. (6.257)
√ m
2E
)
, (6.258)
√
2E
mω 2 sin(ωt + β′ ), β ′ = Qω = cte. (6.259)
1 R dx
√1−ax 2 = 1 √ a
sin −1 `√ a x´
p = ∂W
∂q = √ 2mE − m 2 ω 2 q 2 ; (6.260)