Mecánica Clásica

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 187
El tensor de inercia es simétrico, I ik = I ki , por lo que posee solamente seis componentes
independientes. El tensor I ik es una propiedad del cuerpo rígido que caracteriza
la distribución de masa del cuerpo en torno a los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ). Físicamente, cada componente
del tensor de inercia expresa la resistencia o inercia de un cuerpo a ser rotado en
torno a un eje dado. Por ejemplo, I 33 mide la resistencia del cuerpo a ser rotado alrededor
del eje x 3 .
Con una escogencia adecuada de los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ) para cuerpos simétricos, es posible
hacer que I sea diagonal: I ik = 0, si i ≠ k. En ese caso,
T rot = 1 2 (I 11Ω 2 1 + I 22 Ω 2 2 + I 33 Ω 2 3). (5.41)
Para una distribución continua de masa, pasamos al límite continuo ∑ j m j → ∫ ρdV ,
donde ρ es la densidad y dV = dx 1 dx 2 dx 3 es el elemento de volumen del cuerpo. En ese
caso, el tensor de inercia se expresa como
∫
I ik = ρ(r)[r 2 δ ik − x i x k ] dV . (5.42)
Teorema de los ejes paralelos.
Sea I ik el tensor de inercia de un cuerpo rígido, expresado en el sistema de coordenadas
(x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de masa del cuerpo. Entonces, en un sistema diferente
de coordenadas fijas (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3), cuyo origen O ′ se encuentra en una posición a con
respecto al centro de masa del cuerpo, el tensor de inercia es
I ′ ik = I ik + ∑ j
m j (a 2 δ ik − a i a k ). (5.43)
Figura 5.8: Diferentes sistemas de coordenadas fijas para un cuerpo rígido.
Si i = k, tenemos como ejemplo,
I 33 ′ = I 33 + ∑ m j (a 2 − a 2 3)
= I 33 + ∑ m j (a 2 1 + a 2 2)
= I 33 + Ma 2 ⊥ , (5.44)