Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Los sistemas Hamiltonianos son conservativos; el volumen de un ensemble puede
cambiar su forma en el tiempo, pero no su tamaño, mientras se mueve sobre la superficie
H = cte. La evolución de un ensemble en el espacio de fase de un sistema Hamiltoniano
es similar al movimiento de un fluido incompresible en el espacio real.
En los sistemas disipativos, las trayectorias en el espacio de fase convergen asintóticamente
a un objeto geométrico que tiene un volumen (o dimensión) menor que el espacio
de fase que lo contiene, y que se denomina atractor del sistema. Esta situación es típica
de los sistemas con fricción y de los sistemas fuera de equilibrio.
Figura 6.11: Evolución esquemática de un ensemble en el espacio de fase de un sistema disipativo
(izquierda), y de un sistema conservativo (derecha).
Ejemplos.
1. Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico
conducen a
˙q = p m = f 1(q, p), (6.66)
ṗ = −kq = f 2 (q, p), (6.67)
∇ · f = ∂f 1
∂q + ∂f 2
= 0. (6.68)
∂p
Este sistema es conservativo, como corresponde a todo sistema Hamiltoniano.
2. Las ecuaciones de Lorenz Ecs. (6.55) dan
∇ · f = ∂f 1
∂x + ∂f 2
∂y + ∂f 3
= −(a + b + 1). (6.69)
∂z
Luego, el sistema de Lorenz es disipativo si a + b + 1 > 0. Estas son las condiciones
que producen el atractor de Lorenz en la Fig. (6.5).