Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La derivación de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadas
generalizadas específicas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no depende
de un conjunto particular de coordenadas {q i }. Se puede escoger otro conjunto de s
coordenadas generalizadas independientes {Q i }, y las ecuaciones de Lagrange también
se cumplen en esas coordenadas.
Sea {q i }, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un sistema con
s grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(q i , ˙q i , t). Las ecuaciones de Lagrange para
estas coordenadas son
d
dt
( ∂L
∂ ˙q j
)
− ∂L
∂q j
= 0. (1.190)
Supongamos una transformación a otro conjunto de coordenadas generalizadas {Q i },
i = 1, . . . , s, de la forma
q i = q i (Q 1 , Q 2 , . . . , Q s , t), (1.191)
la cual se conoce como una transformación puntual. Entonces, el Lagrangiano expresado
como función de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas L(Q i , ˙Q i , t) también
satisface las ecuaciones de Lagrange
d
dt
( ∂L
∂ ˙Q i
)
− ∂L
∂Q i
= 0. (1.192)
Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.191) calculamos
˙q i = dq i
dt =
s∑ ∂q i
∂Q k
k=1
˙Q k + ∂q i
∂t . (1.193)
Luego,
˙q i = ˙q i (Q 1 , . . . , Q s , ˙Q 1 , . . . , ˙Q s , t). (1.194)
Entonces, el Lagrangiano se puede expresar como función de las nuevas coordenadas y
velocidades generalizadas,
L(q 1 , . . . , q s , t) = L[q i (Q 1 , . . . , Q s , t), ˙q i (Q 1 , . . . , Q s , ˙Q 1 , . . . , ˙Q s , t), t]. (1.195)
Tenemos,
y
Notemos que
∂L
∂ ˙Q i
=
∂L
∂Q i
=
s∑
j=1
( ∂L ∂q j
+ ∂L )
∂ ˙q j
, (1.196)
∂q j ∂Q i ∂ ˙q j ∂Q i
⎛
s∑
0 ⎞
⎜
⎝ ∂L ∂q
∂q ✓ ✓✼ j
j
✓∂ ˙Q
+ ∂L ∂ ˙q j ⎟
i ∂ ˙q j ∂ ˙Q ⎠ =
i
j=1
∂ ˙q j
∂ ˙Q i
=
s∑
k=1
∂q j
∂Q k
∂ ˙Q k
∂ ˙Q i
=
s∑
k=1
s∑
j=1
∂L
∂ ˙q j
∂ ˙q j
∂ ˙Q i
. (1.197)
∂q j
∂Q k
δ ik = ∂q j
∂Q i
. (1.198)