Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
donde se anulan términos porque el operador ∇ contiene derivadas espaciales y, aplicado
a v, da cero pues v es independiente de las coordenadas r. Luego,
donde
Sustituyendo en Ec. (2.81),
Usando
obtenemos,
cuya componente F i es
v × (∇ × A) = ∇(A · v) − (v · ∇)A, (2.83)
(v · ∇)A =
3∑
i=1
[
F = q −∇φ + 1 c ∇(A · v) − 1 c (v · ∇)A − 1 c
dA
dt =
3∑
i=1
ẋ i
∂A
∂x i
. (2.84)
]
∂A
. (2.85)
∂t
∂A
ẋ i + ∂A
∂A
= (v · ∇)A +
∂x i ∂t ∂t , (2.86)
[
F = q −∇
(φ − 1 )
c A · v − 1 c
[
F i = q − ∂ (
φ − 1 )
∂x i c A · v − 1 c
]
dA
dt
(2.87)
]
dA i
. (2.88)
dt
Comparando con la expresión general de la fuerza generalizada Ec. (2.71):
vemos que la energía potencial satisface
F i = − ∂V + d ( ) ∂V
, (2.89)
∂x i dt ∂x˙
i
∂V
= q ∂ (
φ − 1 )
∂x i ∂x i c A · v (2.90)
∂V
= − q ∂ẋ i c A i , (2.91)
lo que lleva a
V = q
(φ − 1 )
c A · v . (2.92)
El Lagrangiano de una partícula en un campo electromagnético es entonces
L = T − V = 1 2 mv2 − qφ + q A · v, (2.93)
c